El telescopio James Webb y los puntos de Lagrange

Casualmente dos de las misiones espaciales más destacadas lanzadas en el último trimestre de 2021 tienen algo en común: Los llamados puntos de equilibrio de Lagrange, conocidos por L1, L2, L3, L4 y L5.

La sonda Lucy, que fue lanzada el 13 de octubre, visitará asteroides situados en L4 y L5 de la órbita de Júpiter y el telescopio espacial James Webb que el día de navidad salió rumbo a los alrededores del punto L2 de la Tierra.

Situación de los puntos de Lagrange. Habitualmente se representan los 5 con un único astro, pero en este caso he utilizado los dos planetas para recoger la situación real en las dos misiones, aunque las órbitas no están proporcionadas, como tampoco la situación de los 3 primeros puntos en cuanto a su distancia a la Tierra, siendo solamente un esquema.

De las dos misiones citadas, hoy me voy a referir a la segunda que en orden de importancia y eco mediático debe ser la primera, y próximamente escribiré sobre Lucy y sus objetivos.

El telescopio espacial listo para su lanzamiento, junto a científicos y operarios que lo han hecho posible, y dan una idea de su envergadura. a pesar de tener el espejo plegado.

El James Webb es el telescopio espacial más ambicioso, que sustituirá al ya añoso Hubble, tiene una gran sensibilidad y resolución, observará en el infrarrojo y su capacidad será tal que podrá observar más lejos que ningún otro, lo que significará captar las primeras estrellas que se formaron en el universo y las primeras galaxias. La luz de los objetos más lejanos tarda mucho en llegar, por lo que es equivalente mirar lejos a mirar atrás en el tiempo.

Tiene otros muchos objetivos, que puedes encontrar en numerosos artículos o reseñas en la red y que junto a las vicisitudes del lanzamiento y otros temas técnicos mejor que yo lo puede contar el experto en astronáutica Daniel Marín en su blog Eureka, pero antes de nada hay que decir que el lanzamiento ha sufrido numerosos aplazamientos y se ha encarecido. Inicialmente se pensó en lanzarlo en 2007 y se hizo una estimación de un coste de 1600 millones de dólares, pero finalmente se ha lanzado 15 años más tarde habiendo sobrepasado los 9500 millones.

Lanzamiento del telescopio espacial por medio de un Ariane 5

Cuando llegue al punto L2 de la Tierra (un mes después del lanzamiento) no se quedará exactamente allí porque es inestable, sino que lo orbitará según una trayectoria contenida en un plano inclinado respecto a a la eclíptica.

Puntos de equilibrio de Lagrange

El lanzamiento de estas dos misiones son una buena excusa para hablar de los puntos de Lagrange:

Si tenemos dos astros el de menor masa girará alrededor del mayor siguiendo una elipse o, mejor dicho, ambos girarán alrededor del centro de masas. Pero si hay más de dos que interaccionen gravitatoriamente la órbita es muy complicada. En el caso de que sus masas sean muy diferentes, las órbitas casi circulares y el más pequeño gire también alrededor del mayor, el matemático franco-italiano Lagrange dedujo que existen 5 puntos donde se compensaban las atracciones de los dos mayores sobre el tercero, con la fuerza centrífuga de éste considerando un sistema de referencia que gire a la vez que los dos cuerpos mayores, de manera que se moverá alrededor del primero con la misma velocidad angular que el segundo, solidariamente con él.

Los 5 puntos de Lagrange

Para entender más fácilmente la mecánica de estos puntos en el sistema Sol-Tierra conviene recordar que prescindiendo de la atracción de la Tierra:

- Un objeto situado en órbita alrededor del Sol a una distancia del mismo igual a la de la Tierra, se movería a su misma velocidad.

- Si estuviera en una órbita más externa se movería más despacio, y si se ubicara en una órbita más interna lo haría más deprisa

Prescindiendo nuevamente de la atracción de la Tierra:

- Para que un objeto situado en una órbita más externa que el planeta se moviese a su misma velocidad angular, la masa del Sol debería ser mayor, y si está en una órbita más interna la masa debería ser menor:

Sin embargo, un objeto situado en los puntos L1, L2 o L3 se movería alrededor del Sol a la misma velocidad angular que la Tierra, a pesar de que están a distinta distancia de la estrella que nuestro planeta, porque influye también la atracción de la Tierra:

¿Por qué se equilibran las fuerzas? Todo es cuestión de la atracción gravitatoria del Sol y de la Tierra y la fuerza centrífuga del objeto, pero para no utilizar una terminología rigurosa y complicada, de una manera coloquial puede decirse que:

- Un objeto situado en L1 debería moverse alrededor del Sol más deprisa que la Tierra por tener una órbita más interna. Pero, se movería a esa velocidad si el Sol tuviese menos masa, y por ello su fuerza de atracción fuese menor. Al estar situada la Tierra en la parte opuesta, realiza una atracción al objeto que contrarresta parte de la fuerza que realiza el Sol, como si éste tuviera menos masa. La distancia desde la Tierra para que eso ocurra es de 1.48 millones de km.

- Un objeto situado en L2 se debería mover más lento que la Tierra, a no ser que la masa del Sol fuera mayor. En este caso la atracción de la Tierra se suma a la del Sol porque están en la misma dirección y el efecto es como si el Sol tuviera más masa. Dicho punto está a 1.51 millones de km de la Tierra.

Estos puntos de Lagrange, o mejor dicho sus proximidades, son adecuados para colocar satélites artificiales, y actualmente ya hay varios funcionando por allí. Entre otros en las cercanías de L1 fueron colocados el SOHO y Génesis y en L2 WMAP o GAIA  

- Teóricamente un objeto en L3 soportaría una situación similar a L2, ya que también aquí la atracción del Sol y de la Tierra tienen la misma dirección, pero hay una diferencia, y es que la Tierra está mucho más lejos y apenas aporta casi nada a la suma con la atracción del Sol. Eso lo mantendría prácticamente en la misma órbita terrestre, pero en realidad el objeto se mueve no alrededor del centro del Sol, sino del centro de masas del sistema Tierra-Sol por lo que está ligerísimamente más cerca del Sol que la Tierra, a 1.495 millones de km.

El centro de la órbita es el centro de masas del Sol y el planeta, y el punto L3 está un poco más cerca del centro del Sol que del centro de la órbita del planeta.

El punto L3 en el sistema Sol-Tierra fue un lugar popular utilizado para ubicar una "Contra-Tierra", en libros de ciencia ficción. Si allí hubiera algo, no podríamos verlo desde aquí.

Estos 3 puntos son inestables, de manera que aunque en teoría un objeto colocado allí se mantendría teniendo en cuenta solo la atracción de la Tierra y del Sol, con una mínima perturbación producida por la atracción de otro astro saldrían de ese lugar definitivamente. Por eso el telescopio James Webb no quedará exactamente en L2, sino que se moverá a su alrededor en una órbita de halo como otros ingenios astronómicos, que no es totalmente estable y hay que gastar energía para mantenerse en ella:

Si se coloca una nave en órbita alrededor del Sol más lejos de esos 1.51 millones de km desde la Tierra  donde está L2, se moverá más lenta que nuestro planeta (hacia atrás respecto a L2) y curiosamente si se coloca más cerca que L2 aunque esté en una órbita más grande que la de la Tierra, en principio se movería más rápida que ella. Esto puede ser utilizado para describir órbitas en torno a L2, aunque como se ha dicho, no serían totalmente estables.

Dejo para un próximo artículo (ya está publicado)  a la sonda Lucy y la explicación de los puntos L4 y L5, que sin duda son más interesantes que estos de hoy.

La eclíptica

Escribo este post respondiendo a una petición realizada hace unos días en un comentario, y debo dedicárselo especialmente a Juan M-A. 

Por otra parte, tengo que decir que trata un tema bastante técnico, con algunas proyecciones gráficas que podrían resultar difíciles de visualizar o interpretar. Nada que ver con el post anterior, y espero que tampoco con el siguiente, al que puedes esperar si este se hace duro.

“Hace un mes fue la máxima elongación de Mercurio” pero prácticamente no pudo verse desde el hemisferio norte porque la eclíptica en otoño a la puesta de sol está muy poco inclinada, casi horizontal”. En más de una ocasión habré escrito frases como ésta en la que no es fácil de comprender la influencia de la situación de la eclíptica. Veamos lo que es realmente:

Aunque en esencia es lo mismo, puede encontrarse la palabra “eclíptica” en dos contextos diferentes, y así puede hablarse de “el plano de la eclíptica” o bien de “la línea de la eclíptica”:

- El primero es el plano que contiene la órbita de la Tierra alrededor del Sol, por ello tanto el Sol como nosotros estamos situados en ese plano, y forma un ángulo de 23.5º (más exactamente 23º 27´) con el plano del ecuador (el plano que contiene el ecuador terrestre), lógicamente el ángulo de inclinación del eje terrestre.

- La línea de la eclíptica sería la proyección del mencionado plano sobre la esfera celeste, tal como lo veríamos desde la Tierra. Un plano visto de perfil se convierte en una línea.

Lógicamente el Sol siempre está en la eclíptica, y así esta línea atraviesa las constelaciones zodiacales, aunque en realidad no solamente recorre las 12 conocidas que se utilizan en los horóscopos, sino también Ofiuco y roza la de la Ballena.

Aunque en realidad nosotros vemos una línea recta proyectada sobre la esfera celeste, al representar cualquier esfera sobre un plano siempre se deforma. Habitualmente se representa el ecuador como una recta y la eclíptica como una línea sinusoidal, tal como aparece en esta imagen, pero también podría hacerse al revés.

También puede visualizarse mediante el llamado “modelo de las dos esferas”: la celeste y la terrestre, donde se aprecia la similitud entre el ecuador y la eclíptica, dos círculos máximos con una inclinación de 23.5º de uno respecto a otro.

En nombre de “eclíptica” se debe a que si la Luna está ahí con fase llena o nueva, se produce un eclipse.

Como las órbitas de los planetas del Sistema Solar están casi en el mismo plano, aproximadamente también éstos se verán cerca de la línea de la eclíptica, con una separación máxima de 8.7º en el caso de Venus, aunque normalmente es mucho menor. Al final del artículo se detallan las circunstancias de cada planeta.

Si la elongación de un planeta (su separación angular con el Sol) es pequeña, será más fácil de ver cuanto más vertical esté la eclíptica en el momento de la puesta de sol o del amanecer, según se encuentre al Oeste o al Este del astro rey, tal como se visualiza más adelante en uno de los gráficos.

Entre los sistemas de coordenadas celestes, además de las más conocidas (ascensión recta y declinación o azimut y altura) también están la longitud y latitud eclíptica, que como se deduce de su nombre son análogas a la longitud y latitud de un punto de la superficie terrestre, siendo las referencias en este caso la línea de la eclíptica y el meridiano que pasa por el punto vernal (corte del ecuador celeste con la eclíptica, donde está el Sol en el equinoccio de primavera del hemisferio norte)

Desde cualquier lugar concreto la línea del ecuador estará fija en el cielo, interceptando el horizonte justo en el Este y el Oeste, y con una altura máxima igual a la colatitud del lugar (90-latitud), mientras que la eclíptica va variando con el paso de las horas y la fecha.

Aquí aparece una simulación correspondiente al hemisferio norte en el equinoccio de primavera, y luego en el anexo se ilustran diferentes situaciones para los dos hemisferios.

Nótese la diferencia en el momento de la salida del Sol, en que está muy horizontal.

O en el momento de la puesta, mucho más vertical. 

En ambos casos pasa por el Este y el Oeste, pero a cualquier otra hora no:

Como se ha dicho, el ecuador siempre permanece fijo.

La última imagen (y su simétrica) correspondería también al momento de salida o puesta de sol en los solsticios .

Para concretar más, en ambos hemisferios y en los dos equinoccios, recojo unos gráficos (algunos publicados ya en este blog hace años), que ilustran la inclinación de la eclíptica cerca del horizonte en momentos próximos a la salida y puesta de Sol que será determinante para la visibilidad de un planeta cuando su elongación sea pequeña.

- En el hemisferio norte tras la puesta de Sol la situación más favorable se da en el equinoccio de primavera:

Aunque el planeta esté en la eclíptica, su trayectoria diaria es paralela al ecuador, y en esta representación se ocultará por el horizonte en los puntos 1 y 3

- En el hemisferio norte antes de la salida del Sol en el equinoccio de otoño es cuando más vertical se encuentra la eclíptica:

- En el hemisferio sur tras la puesta de Sol la situación más favorable se da en el  equinoccio de primavera (ahí en septiembre):

- En el hemisferio sur antes de la salida del Sol en el equinoccio de otoño es cuando más vertical se encuentra la eclíptica

Por todo ello, aunque las direcciones de salida y puesta de Sol en los dos hemisferios son diferentes, coinciden las situaciones en el mismo equinoccio: en ambos casos si queremos observar al anochecer un planeta con elongación Este no muy grande, las mejores fechas serían cerca del equinoccio de primavera. Aunque hay que tener en cuenta que ocurren en fechas opuestas. Y si en una fecha la visibilidad de un planeta con poca elongación es favorable en un hemisferio, en el otro será desfavorable.

- Una representación conjunta, en solsticios y equinoccios, como ejemplo para la puesta de sol en el hemisferio norte. En el Sur la situación es la misma con las inclinaciones en el sentido contrario.

- Proximidad de cada planeta a la eclíptica: Como se ha dicho, siempre vemos los planetas cerca de la eclíptica y la separación angular con la misma depende de la inclinación de su órbita, pero también del lugar de la órbita en que esté y de la distancia a la Tierra. Mientras que el primer factor es fijo, los otros dos varían.

Baile sincronizado en Neptuno

Hace unos días fue la oposición de Neptuno, concretamente el 17 de este mes de septiembre.

Pero nadie habló de ello y no se le prestó ninguna atención en los medios como suele hacerse por ejemplo con Marte o Júpiter. Es lógico porque el octavo y último planeta no puede verse a simple vista como los otros, y debido a su gran distancia desde el Sol, su aumento de brillo en la oposición es muy pequeño.

Sin embargo por aquellos lugares ocurren cosas sorprendentes y no quiero dejar pasar más tiempo sin dedicarle un post a Neptuno, o mejor dicho a sus dos satélites más interiores: Náyade y Talasa.

Representaciones de las personalidades mitológicas de Náyade (ninfa de las aguas dulces) y Talasa (diosa del mediterráneo) junto a una imagen del primero de los satélites.

Ambos tienen una forma muy alargada, su tamaño ronda los 100 kilómetros y se mueven más deprisa que la rotación de Neptuno por lo que eso hace que se vayan acercando poco a poco al planeta hasta que en un futuro lejano choquen con él o con sus anillos, como ocurre con Fobos, el mayor de los satélites de Marte.

Pero lo más destacable de la pareja es que mantienen un baile muy especial. Sus órbitas, prácticamente circulares, están separadas por solo 1848 kilómetros, que no es nada en términos astronómicos.

Gráfico a escala donde se aprecia la cercanía entre las órbitas de los dos satélites

Es cierto que aún más cercanas están las órbitas Jano y Epimeteo, satélites de Saturno; y si para evitar un choque cuando se aproximaban aquellos realizaban un baile “a lo agarrado”, casi dándose la mano e intercambiando posiciones, tal como conté en el artículo que les dediqué en su día, estos dos mantienen las distancias llevando a cabo otra danza muy diferente “a lo suelto”.

Lógicamente al tener las órbitas tan cercanas sus periodos orbitales también son similares, y es casi cada 17 vueltas de Talasa cuando es alcanzada por Náyade. Si las órbitas estuvieran en el mismo plano en ese momento del adelantamiento su distancia sería los mencionados 1848 km, demasiado cerca como para que sus órbitas no se desestabilizaran. Pero mientras el plano orbital de Talasa prácticamente coincide con el ecuatorial de Neptuno, el de Náyade está inclinado casi 5º, con lo que en general la distancia entre ambos en esos momentos de encuentro sería mayor.

No está a escala, habiéndose exagerado la inclinación del plano orbital de Náyade, para una mejor comprensión de la situación.

Pero eso no solucionaría el problema porque los lugares de adelantamiento van recorriendo toda la órbita y en principio en algún momento se podrían aproximar al nodo (punto de corte de la órbita de Náyade con el plano orbital de Talasa)  y la distancia entre los dos satélites sería pequeña. 

Sin embargo hay un mecanismo que se ha adecuado exactamente a los movimientos de ambos, que consiste en el desplazamiento de los nodos de tal manera que siempre los adelantamientos se producen a una misma distancia, concretamente a unos 3470 kilómetros y siempre alejados de los nodos. Justo a 45º de ellos.

El resultado de este "baile de evasión" se ilustra con el siguiente vídeo, realizado a partir de las investigaciones del equipo de Marina Brozovic del LPC de California, que descubrieron el tema hace un par de años, y lo califican como “una coreografía nunca antes vista”

Está realizado desde el punto de vista de Talasa, y por ello su posición permanece quieta

Se puede ver como aparentemente Neptuno gira al revés (sentido retrógrado) porque tal como se ha dicho el periodo de traslación de Talasa es menor que el periodo de rotación de Neptuno.

Como las velocidades de ambos satélites son similares, desde Talasa se ve moverse a Náyade relativamente despacio, pero subiendo y bajando cada 7 horas porque su órbita está inclinada y en ese tiempo (entre dos subidas, por ejemplo) la completa.

En la animación se aprecian numerosas órbitas de Náyade vistas desde Talasa que incluyen el primer adelantamiento, pero en el gráfico final aparecen 3 veces más para completar las 4 aproximaciones posibles:

Lugares de adelantamiento de Talasa a Náyade. Los puntos de adelantamiento están separados de los nodos (más arriba o más abajo de la posición de Talasa) con lo que la distancia entre los dos satélites será mayor.

La perfecta sincronización entre estos dos satélites es toda una muestra más de las curiosas circunstancias que se producen en los movimientos de los astros del Sistema Solar, pero realmente sorprendente, siendo la primera vez que se encuentra algo similar, y a la que los descubridores han denominado resonancia de cuarto orden.

Los números explican la coreografía.

La distancia de Náyade y Talasa al centro de Neptuno es de 48227 y 50075 kilómetros respectivamente, o dicho de otra forma 23605 y 25453 a la superficie del planeta, y la excentricidad de sus órbitas de solo 0.0003 y 0.0002.

Sus periodos orbitales son de 7.0565 y 7.4756 horas por lo que cada 125.858 horas (algo más de 5 días) Náyade adelanta a Talasa, cuando el primero ha dado 17.836 vueltas y el segundo una menos: 16.836 desde el encuentro anterior.

Como la parte decimal 0.836 es mayor de 0.5 puede considerarse que los puntos de adelantamiento siguen una secuencia retrógrada, de dirección contraria al movimiento de los satélites, de 59.1º: De A a B en el gráfico:

Como es relativamente frecuente en astros de órbitas contiguas, ambos están en resonancia aunque en este caso con números muy elevados, concretamente en relación de 107 a 101, por lo que los adelantamientos se producirán aproximadamente en 6 lugares concretos y equidistantes de sus órbitas (107-101=6), y esto podría producir una situación estable (que no se acercasen a más de 2604 km, en posiciones a 30º del nodo), aunque quizás no fuese suficiente.

Posible situación con una resonancia exacta y simétrica a la línea de los nodos (No es el caso)
En las posiciones de adelantamiento 2, 3, 5 y 6 la distancia sería de 2604 km. En 1 y en 4 sería mayor

Pero como ocurre siempre en estos casos la resonancia no es exacta y en cada ciclo de 6 adelantamientos el lugar se desplaza 0.0145 vueltas, es decir 5.2º, con lo que al cabo de un cierto número de vueltas el adelantamiento se produciría muy cerca de un nodo ya que los puntos de adelantamiento barrerían todo el círculo.

En la parte superior aparecen los lugares de cada 6 adelantamientos que acabarían recorriendo toda la órbita

Pero la circunstancia más extraordinaria es que los nodos se van desplazando en sentido directo a una velocidad de 0.246º/hora o 30.9º por cada periodo de adelantamiento, de manera que todas las aproximaciones se producen cuando Náyade está a 45º de uno de los nodos (en el punto medio entre un nodo y su punto más lejano), y por ello la menor distancia que separa a los dos satélites (la distancia que les separa en los adelantamientos) es siempre de unos 3470 kilómetros.

Además los nodos no se van alternando, sino que el lugar de adelantamiento se sitúa a los mencionados 45º del nodo ascendente dos veces seguidas (por un lado y por el otro) y luego otras dos al descendente.

En el siguiente gráfico se representan en perspectiva dos adelantamientos consecutivos, el movimiento de los nodos y la distancia entre los satélites.

En este otro gráfico, con la imagen proyectada en planta sobre la órbita de Talasa, aparecen 7 posiciones sucesivas  en que se produce el adelantamiento, donde los lugares de los mismos van girando 59.1º de uno a otro en sentido retrógrado, de tal manera que en sucesivos pasos se completaría toda la superficie posible, pero sin embargo el movimiento de los nodos en sentido contrario mantiene fija la estructura de esta danza, con las posiciones de todos los adelantamientos a 90º de un nodo.

Visto desde Talasa la situación 1 es igual que la 5 ya que se vería a Náyade bajando 45º después de pasar por el nodo descendente; la 2 igual que la 6  en que se le vería bajando 45º antes de pasar por el nodo descendente y la 3 igual que la 7 subiendo desde el nodo ascendente. Por ello solo son cuatro las posibles opciones, que se completan con la 4 en que se vería a Náyade subiendo hacia el nodo ascendente. Estos son los 4 pasos principales de este baile tan especial.

Aunque este movimiento nodal de Náyade pueda parecer exagerado, es de solo 1.7º por cada vuelta, muy parecido al de nuestra Luna, que es de 1.6º.

¿Habría sido provocado por la entrometida Talasa? Según los investigadores parece que no.

Parece ser que la situación actual de la pareja es fruto de una serie de circunstancias ocurridas anteriormente. Cuando Neptuno capturó a su gran satélite Tritón todo el sistema de lunas se alborotó, Náyade habría adquirido su movimiento actual en una órbita inclinada por una relación previa con otra de las lunas y posteriormente se le habría aproximado la casquivana Talasa, colocándose a la distancia adecuada para realizar el baile. Hace ver que se acerca mucho, pero no quiere comprometerse demasiado y en realidad da los pasos adecuados para mantenerse a distancia.

Los exoplanetas resonantes y el discordante

La semana pasada se difundió la noticia del descubrimiento de un nuevo sistema planetario con unas características aparentemente sorprendentes.

Dos noticias complementarias sobre el tema, publicadas por el mismo medio los días 26 y 30  de enero, una con mayor acierto que la otra y que, al igual que prácticamente todas, destacan el tema de los movimientos coordinados de los planetas del sistema

Aunque pueda ser inusual, no es la primera vez que se encuentra un sistema planetario interpretando ese tipo de ballet cósmico alrededor de su estrella según unos ritmos a los que técnicamente se les da el nombre de “resonancias”.

Ya se conocen otros ejemplos de sistemas de exoplanetas resonantes incluso más completos que éste, siendo el más famoso el de los Trappist-1 del que se habló mucho hace 4 años, pero como la prensa actual necesita titulares novedosos, los busca donde no los hay.

Imagen artística de Trappist-1, un sistema con más exoplanetas y resonancias que el de ahora.

Pero en realidad parece que sí hay una primicia en el descubrimiento de este sistema llamado TOI-178, que es el nombre de la estrella alrededor de la que giran estos planetas “bailando rítmicamente”, aunque la novedad no está en el tema de las resonancias, sino en cuanto a las densidades de los planetas del sistema y su distribución, tan diferente al ejemplo de nuestro sistema Solar y de otros sistemas extrasolares, que parecía que nos daban unas pautas claras sobre las teorías de formación y migración planetaria como se explicó muy bien en algunos medios:

Tal como nos tiene acostumbrados, el astrofísico Santiago Pérez Hoyos aclara perfectamente la situación en el laureado programa de divulgación científica “La mecánica del Caracol” de Radio Euskadi que puedes oír en este enlace, a partir del minuto 33:45, aunque ya en 30:10 habla de exoplanetas y del sistema Trappist-1

Esta vez la agencia EFE recogió y difundió adecuadamente la noticia, aunque al principio del texto se insiste extensamente en lo menos novedoso y es también con lo que comienza el titular:

El hecho de la “rítmica danza” da atractivo al titular, pero no es lo más importante de cara a "afinar las teorías...”. He incluido un párrafo sobre el que incidiré más adelante. Puedes leer la noticia completa en este enlace.

El asunto de las resonancias

Aunque quizás sea contradictorio por mi parte, voy a aprovechar la noticia para hablar del aspecto que más se ha difundido y del que, como matemático, puedo hacerlo con mayor conocimiento de causa.

En todos los casos se ha remarcado que los planetas TOI-178 están en resonancia. y por eso lo de la "danza rítmica". Concretamente se refiere a una especie de baile sincronizado donde los periodos de traslación de los diferentes planetas están en relaciones de números enteros sencillos. 

Por ejemplo, que cuando uno de ellos da 3 vueltas alrededor de la estrella, el siguiente da casi exactamente 2 (resonancia 3:2), o el caso más sencillo cuando uno de ellos da el doble de vueltas que otro casi exactamente en el mismo tiempo (resonancia 2:1). En el segundo anexo explico lo de “casi”.

Con una resonancia 2:1 coincidirán siempre en la misma dirección respecto a la estrella cuando un planeta ha dado una vuelta y el otro 2. Cuando la diferencia de vueltas es mayor que 1, lógicamente coinciden en varios lugares de la órbita, por ejemplo con una resonancia 3:1 el primer adelantamiento se produce cuando el más lento ha dado solo media vuelta, o si es 5:2 en 3 lugares cada tercio de vuelta, como se puede ver en este post sobre la reciente conjunción Júpiter-Saturno

Además de los satélites galileanos de Júpiter que suelen citarse en la mayoría de los lugares, también entre los planetas y astros menores del Sistema Solar existen unos cuantos casos de resonancias, por ejemplo el que acabo de citar de Júpiter con Saturno que motiva sus conjunciones cada 20 años.

Con unos periodos relativamente próximos a los 30 y 12 años, cuando Saturno da dos tercios de vuelta, Júpiter da una vuelta y dos tercios. Al cabo de 3 repeticiones de este proceso Saturno habrá dado 2 vueltas (3 x 2/3=2) y Júpiter 5 (3 x 1+2/3 = 3 x 5/3 =5) y estarían en resonancia 5:2.

Como se dijo, esto es aproximado.

Recogí más información y ejemplos de resonancias en nuestro sistema en el artículo “A los planetas  les gustan los números enteros, a los asteroides no”  y en  “El baile sincronizado de los satélites galileanos” 

Como todo esto es bastante técnico, en este blog que presume ser “para todos los públicos” he preferido colocar las explicaciones en los adjuntos para no "torturar" a quienes no les gustan los números (espero no haberlo hecho ya), que ya encontrarán otros temas “más amables” en próximos artículos. Sin embargo, como no son cuestiones complicadas, te sugiero que sigas leyendo si tienes curiosidad, aunque pases de los números que no te interesen.

Antes de ello también hay que insistir en que estas situaciones de resonancia no son casualidades numéricas, sino una consecuencia de interacciones gravitatorias que han influido en la evolución de la disposición del sistema a partir de su situación original y en la migración de estos planetas, de manera que se ha llegado a una configuración donde los parámetros orbitales son estables. Los números no son por lo tanto un punto de partida, sino una consecuencia.

En el sistema TOI-178 se han descubierto 6 planetas, que siguiendo la norma establecida se designan con el nombre de la estrella seguido de las letras b, c, d, e, f y g  (la “a” no se utiliza) y excepto el más cercano a la estrella (el TOI-178 b) que parece que va a su aire, y podemos olvidarnos de él, los otros 5 están en resonancia según una relación completa de 18 : 9 : 6 : 4 : 3. 

Ello significa que cuando el planeta “c” completa 18 vueltas el siguiente (el “d”) ha dado 9, el “e” 6, el “f” 4 vueltas y el “g” 3.    Considerando los planetas de los extremos, cuando el último de ellos (el “g”) da una vuelta, el primero de los resonantes (el “c”) completa 6 vueltas (ya que 18/3=6). O tomándolos dos a dos, las relaciones en las parejas de planetas vecinos serían 2:1,   3:2,   3:2  y  4:3.  Viendo la frase que me ha quedado, y poniendo un poco de humor, espero que los fríos números no destrocen esas relaciones de pareja.

O así es como se suele explicar, pero luego lo matizo porque los números no son exactos.

Tal como he mencionado antes, en el sistema Trappist-1 ya se encontró este tipo de resonancias pero con más bailarines (hay un planeta más) y mejor coordinados (las relaciones numéricas son más exactas):    En aquel caso se descubrieron 7 planetas, 6 de ellos resonantes y el que iba a su aire era el último, en vez del primero. La secuencia completa de resonancias es  24:15:9:6:4:3, o considerando las relaciones del periodo del vecino más cercano de 8:5,   5:3,   3:2  , 3:2  y  4:3.

Pero volviendo al de ahora, las citadas relaciones numéricas de los TOY-178 se pueden deducir y comprobar a partir de los valores de sus periodos que se recogen en esta tabla:

Todo expresado en días y redondeando a 3 decimales, como en los siguientes resultados, aunque en los cálculos he utilizado más dígitos.

En todo el artículo (espero que no se haya colado ninguna excepción) he utilizado la coma para indicar los decimales. No confundirlo con el signo habitual de los millares que en mi época escolar estaba claro y se ponían a diferente altura, pero actualmente se ven diferentes criterios con el uso de la coma y el punto, y se presta a confusión.

Haciendo las divisiones entre cada pareja de estos números correlativos, se obtiene casi el mismo resultado que dividiendo los números enteros citados. Por ejemplo con la última pareja 20,709/15,232= 1,359  aunque  4/3=1,333

¿Hay algo que no cuadra con las noticias? 

Bueno, repasando todo antes de publicarlo, he repetido los cálculos (también con el primer planeta -el b- sin darme cuenta de que tenía que olvidarme de él) y parece que también hay una resonancia entre él y el siguiente según la relación 5:3 como se puede comprobar teniendo en cuenta que su periodo es 1,915 días: (3,238/1,915=1,691 y 5/3=1,667). 

No modifico lo que ya tenía escrito, y al final del artículo he añadido las razones por las que todo el mundo ha ninguneado al primer bailarín, el pobre TOI-178 b.

Como ya habrás visto con estos números, normalmente no son resonancias exactas y en este caso aunque la relación entre los planetas d y c se dice que es de 2:1, en realidad cuando el planeta d completa exactamente una vuelta el c  había completado las dos ligerísimamente antes, y concretamente ha dado 2,025 vueltas; con lo que cada adelantamiento no se vuelve a producir exactamente en el mismo lugar que el anterior sino un poquito antes y esto, que ocurre en todos los casos, lo retomo en el siguiente anexo por si quieres conocer los curiosísimos detalles, ya que estos desajustes guardan una sorpresa.

Como se ha dicho antes, el baile rítmico de estos planetas TOI-178 se ha anunciado como una primicia, cuando en realidad hay al menos un ejemplo casi idéntico, el citado Trappist-1, pero más completo (un  planeta más), muy anterior (descubierto en 2017) y con el agravante de que fueron muy famosos, y se habló muchísimo de ellos. Yo desarrollé algunos aspectos de aquel sistema en “Los cielos de los planetas de trappist1” , aunque no insistí mucho en este aspecto de las resonancias.

Diferencias con las resonancias exactas

Un aspecto importante a tener en cuenta, que ya he citado varias veces y lo vuelvo a repetir, es que los números que se dan en estas resonancias planetarias no son nunca exactos. Ya se ha dicho que en el caso de TOI-178 c y TOI-178 b cuando éste da una vuelta el otro no da justamente 2, sino 2,025 vueltas (diferencia de 0,025 vueltas), y unas diferencias del mismo orden se dan en las otras parejas (concretamente 0,019,  0,029  y  0,026). Esto es el “casi” que anunciaba al principio.

En el caso del planeta b, del que se dice que no está en resonancia, la diferencia con la relación 5/3 respecto al c es 0,025. Totalmente análoga.

En el sistema Trappist-1 las diferencias con las proporciones exactas son muy inferiores: 0,003,  0,006, 0,006,  0,009  y  0,012, con lo que se acercan mucho más a las resonancias numéricas exactas.

Por tomar de nuevo el ejemplo de Júpiter y Saturno, tampoco aquí la resonancia es exacta e incluso la diferencia entre el cociente de sus periodos (29,46 y 1,86 años) respecto a la relación 5/2 es de 0,12,  mucho mayor que los ejemplos anteriores.

Al ser solo dos astros esta diferencia no influye en otros, pero condiciona la cercanía de los dos planetas en las diferentes conjunciones y los periodos de tiempo entre conjunciones próximas, como se explicó en su día.

¿Por qué se dice que TOI-178 b es un bailarín no coordinado con los otros 5?

Porque en los otros 5 estas diferencia que acabo de citar (respecto a las proporciones de números enteros) están coordinadas de manera que las posiciones relativas de esos cinco planetas se vuelven a repetir (aunque no sea justo cada 18 vueltas de c, como suele anunciarse por simplificar la situación) 

Es lo mismo que en el caso de los satélites galileanos, que recogí en el mencionado post en que hablaba sobre ellos: 

Allí se señalaba que aunque las resonancias no son exactas y por ello los satélites repiten sus posiciones relativas a lo largo del tiempo en lugares ligeramente diferentes, el punto de adelantamiento de un astro a otro se va moviendo poco a poco.   Pero eso no desajusta al tercero, que también se desplaza de manera que las diferencias con las resonancias exactas están totalmente coordinadas para que las figuras geométricas que forman los lugares de adelantamiento se mantengan y vayan girando. 

Evidentemente todo tiene su origen en las interacciones gravitatorias, pero en aquel caso las configuraciones de las diferentes conjunciones parecían trazadas "a propósito" por un maniático geómetra perfeccionista, y las recogí en este gráfico:

Posiciones en las que se producen los “adelantamientos” o “conjunciones vistas desde Júpiter” de los 3 primeros satélites galileanos.
Si las resonancias fuesen exactas esos puntos permanecerían invariables. Aunque no lo son, toda esta figura va girando lenta y solidariamente según la dirección de la flecha roja pero sin perder su forma.

¿Es posible que esto ocurra también con los cinco planetas exteriores de TOI-178, pero no con el primero, a pesar de estar también en resonancia con su vecino, y por eso se diga que no participa del baile? 

EFECTIVAMENTE:

No es al cabo de 18 vueltas de TOI-178 c (58,292 días) cuando las posiciones de los planetas vuelven a repetirse, sino exactamente cada 57,581 días (la coma indica decimales). Y en este tiempo, cada uno de los planetas ha dado el siguiente número de vueltas:

El c 17,780 (en vez de 18), el d  8,780 (en vez de 9), el e 5,780, el f 3,780, y el g 2,780 vueltas, con lo que a partir de las posiciones en cualquier momento dado, volverán a coincidir en el mismo sitio pero girado 0,780 vueltas, es decir 280,8º, o bien 79,2º antes.

Excepto el "desajustado" planeta b, que en ese tiempo habrá dado 30.075 vueltas, y con ese "pico" de 0,075 vuelta (que son 27º) se habrá "adelantado" un buen tramo a sus compañeros (que se quedaron en 0,780 de la vuelta anterior) destrozando la coreografía.

Si dos cualesquiera de esos planetas resonantes en un determinado momento se encuentran alineados con su estrella en la dirección 1 (en el gráfico, a la derecha de la estrella), al cabo de 57,581 días volverán a estar alineados pero en la dirección 2.  

Si el planeta TOI-178 b se encontrase al principio también en 1, al cabo de ese tiempo estaría en 3

Mi trabajo me ha costado descubrir esos feos números: Intuir la situación, plantear la ecuación adecuada, comprobar los resultados... Pero ahí están, demostrando que las matemáticas subyacen en todos los procesos astronómicos y en este caso han servido para comprobar que todos los planetas de este sistema siguen armoniosamente el baile menos TOI-178 b, que ha perdido el paso.