Curiosidades sobre los astros, propuestas de observaciones sencillas, aspectos cotidianos pero poco conocidos, todo ello con un enfoque didáctico.

domingo, 17 de enero de 2016

¿Tienes algo tan redondo como ... (2)


¿Tienes a mano algo tan redondo como la órbita de la Tierra? (2)

En la primera parte de este tema se decía que la órbita de la Tierra es casi circular, mucho más redonda que lo que todos pensamos, incluso más redonda que una moneda, y que casi siempre se representa de manera errónea, exageradamente alargada.
Algunas afirmaciones que allí se vertían son tan sorprendentes que hay que aclararlas más detalladamente y justificarlas con números, lo cual suele ser “feo” para algunos lectores, pero para eso suelo utilizar la sección de “los rombos”, que son anexos opcionales y solo recomiendo a quienes realmente les interese un determinado aspecto del tema. En este caso la totalidad de este post  es específica y opcional, para completar el anterior, que es de obligada lectura antes de leer éste. Si no lo leíste, antes de seguir, pincha en este enlace .
Creo que por primera vez aparecen los dos tipos de anexos con rombos, e incluso ahora también un tercero y me he dado cuenta que nunca he explicado el origen de esos "logos" romboidales: El Subtítulo de este blog indica que es “Para todos los públicos”. Por ello, cuando aparecen explicaciones que pudieran no serlo, lo aviso con estos indicadores que se usaban en la televisión española cuando yo era niño, y en la televisión en blanco y negro con solo dos canales aparecían uno o dos rombos, teóricamente para advertir que no lo viéramos porque no era adecuado a nuestra edad, aunque conseguían el efecto contrario. Para nosotros era la señal de que iba a aparecer algo “interesante”.
Es posible que aquí pase algo similar y por eso me he inventado los 3 rombos, para que tanto aviso “asuste” un poco más.

Como algunos aspectos del post son demasiado técnicos, he intentado aligerar la pesadez que pudieran haber producido utilizando, sobre todo al final, un tono algo jocoso o irónico. No creo que se vuelva a repetir mucho en el devenir del blog, y espero que con ello no haya perdido rigor o credibilidad.
Soy consciente de que ha quedado claramente heterogéneo y excesivamente largo (tampoco volverá a repetirse), pero no debe ser un inconveniente porque debes elegir solo lo que te interese y estoy convencido de que en uno u otro anexo encontrarás algo de tu agrado. Para empezar: Si no te gustan las matemáticas, te aconsejo vivamente que  te saltes los dos primeros apartados y vayas directamente al tercero, el que está encabezado por los tres rombos.

Descubrimiento de la verdadera forma de las órbitas planetarias.
Cuando Copérnico descubrió, en el siglo XVI que los planetas giraban alrededor del Sol, supuso que lo hacían en órbitas circulares con nuestra estrella en el centro porque es lo que parece lógico. Unas cuantas décadas después, Kepler, estudiando una posición observada por Tycho Brae del planeta Marte que no le concordaba con el esquema de Copérnico (una sola entre otras muchas concordantes), descubrió que en realidad las órbitas eran elípticas y el Sol no estaba en el centro. 
Lo que le dio la pista para su deducción fue esto último: La posición respecto al Sol. Si con esa misma órbita, el Sol hubiera estado en el centro, jamás se hubiera dado cuenta porque, como se vio, las órbitas de los planetas son casi casi circulares. La de Marte es la segunda más excéntrica entre los planetas, y aunque no se note por ningún lado su forma ligerísimamente alargada, al estar el Sol apreciablemente apartado del centro, las consecuencias de ello son claras y las que detectó Kepler.
Aunque los 8 planetas tienen órbitas prácticamente redondas, no ocurre así con muchos asteroides, algún satélite y la mayoría de los cometas periódicos, que, esas sí, pueden ser tremendamente alargadas.
 
Tres ejemplos de órbitas en el Sistema Solar: La de Mercurio (la más alargada entre los planetas) , el asteroide centauro Quirón (también más alargada que la mayoría de ese tipo de astros) y el cometa Halley.
Está reflejada fielmente la forma de cada órbita, así como la posición del Sol, y se indica también la excentricidad: e (se explica luego este concepto). La escala es muy diferente en cada una de las tres órbitas.


Qué es una elipse.
Si fijamos en el plano dos puntos cualesquiera que llamaremos focos (f y f´), la elipse es el conjunto de puntos cuya suma de las distancias a cada foco es constante. En una órbita elíptica de un astro de nuestro Sistema, el Sol se sitúa exactamente en uno de los focos. En el caso de la circunferencia los dos focos están juntos en el centro.
Kepler, que era matemático, a partir de datos de la observación de los planetas, haciendo infinidad de cálculos, equivocándose una y otra vez, finalmente descubrió que las órbitas planetarias eran elipses, y encontró las leyes que regían sus movimientos y velocidades. 
Posteriormente Newton, el padre de la física clásica, demostró bajo el punto de vista de esa disciplina el por qué de las leyes de Kepler y las generalizó a cualquier astro que se mueva por influencia gravitatoria de otro: No siempre tiene por qué ser una elipse alargada, sino que puede ser una circunferencia o una parábola o una hipérbola. Estas dos últimas son trayectorias abiertas que siguen algunos cometas que se acercan al Sol por primera vez y nunca más vuelven.
 En el gráfico, el punto amarillo sería el Sol, la línea de color morado es una circunferencia, la azul una elipse, la verde una parábola y la marrón una hipérbola. La diferencia entre la parábola y la hipérbola es que a medida que se aleja del foco (del Sol), la hipérbola se aproxima cada vez más a una línea recta mientras que la parábola se sigue curvando.




Matemáticas de las órbitas elípticas.





En una elipse se pueden considerar 4 parámetros fundamentales: a, b, c y e, pero conociendo dos de ellos se pueden calcular los otros dos por las fórmulas:

(I)    e = c / a     y     (II)  a2 = b2 + c2




Normalmente los datos que suelen darse de una órbita son el semieje mayor: a y la excentricidad: e , que es el indicador del "alargamiento" de la elipse. En el caso de la órbita de la Tierra a=149 598 000 km.  y e= 0,0167. En vez de trabajar en kilómetros es mucho más cómodo hacerlo en unidades astronómicas (u.a.) que, por definición, es la medida del semieje mayor  de la órbita de la Tierra, por lo que en unidades astronómicas, en la órbita de la Tierra a=1.
Con la fórmula (I) se calcula c.     c= e.a =0,0167 .1 =0,0167
Luego, para calcular el semieje menor b, en la segunda fórmula (II) se sustituyen los valores de a y de c y se despeja b como la raíz cuadrada de  a2 - c2  , obteniéndose el valor   b=0.99986 u.a., que si se multiplica por el valor de a en kilómetros sale b= 149 577 000 km que era el dato fundamental en la discusión del post anterior porque al ser casi igual que a, la elipse es prácticamente un círculo
Es interesante analizar cómo va cambiando la forma de una órbita elíptica (su alargamiento) y la distancia c del Sol al centro , según va variando la excentricidad, y comprobar que al ir aumentando poco a poco el valor de la excentricidad, aumenta en la misma medida la distancia del Sol al centro, pero aumenta muchísimo más despacio el "alargamiento" de la elipse. El Sol debe estar relativamente muy separado del centro para que la órbita pierda ligeramente su aspecto redondo.
Voy a tomar siempre el valor a=1, (ojo: si la órbita con la que trabajo no es la de la Tierra, no serán unidades astronómicas) por comodidad de cálculo y facilidad de interpretación de los resultados, que así irán dados en función de la medida del semieje mayor de la elipse en cada caso. 
Ya se dijo que en la circunferencia la excentricidad es cero (e=0). Esto también se comprueba sustituyendo este valor en las fórmulas, porque se obtiene b=1=a, y al ser los dos ejes iguales, se trata de una circunferencia.
Al aumentar poco a poco la excentricidad, el valor de c aumenta de la misma manera (si a=1, c=e), pero aunque el valor de b disminuye (se deduce de la fórmula porque b es la raíz cuadrada de a2-c2), al principio lo hace muchísimo más despacio según se intuye de la propia fórmula, porque a2 es mucho mayor que c2, y b viene a ser casi la raíz de a2, es decir casi igual que a.
Estas consecuencias se ven muy bien en el gráfico anterior con las órbitas de Mercurio, Quirón y Halley.
Por ejemplo, en la órbita de Mercurio, donde la excentricidad e=0.2 ya es “considerablee” (más de 10 veces más grande que la de la Tierra), el Sol está separado del centro apreciablemente, una quinta parte de la medida del semieje (1/5 =0.2). Pero como c2=0.22 =0.04 es muy pequeño (estas matemáticas caprichosas …), casi despreciable respecto a2 que sigue siendo 1, entonces b sale casi casi igual que a y la órbita de Mercurio sigue viéndose casi casi redonda.
Pero cuando los valores de e son grandes y se acercan a 1, por ejemplo en la órbita del cometa Halley e=0.97 , c2 también estará próximo a 1:  0.972=0.94 , con lo que al calcular b por la fórmula, (a2-c2=1-0.94=0.06 y raíz de 0.06=0.25) sale un valor pequeño, y la elipse es muy alargada. Pero para obtener esta elipse tan alargada (similar a la que dibujan a veces para la Tierra), se ha tomado un valor de e (y de c que tiene el mismo valor) muy próximo a uno, es decir, que el Sol está “casi casi tocando” un extremo de la órbita elíptica.

Si la excentricidad e fuese 1, sale b=0, y el semieje a sería infinitamente más grande que b, la elipse se alarga “hasta el infinito” y a esto los matemáticos le decimos que se transforma en una curva que no se cierra, que llamamos parábola. En una elipse la excentricidad puede ser cero (todo funciona sin problemas), pero no puede ser uno.
  
Pero, la órbita de la Tierra ¿es elíptica, o no?
Quizás estés pensando que, vale, de acuerdo. Que que en el post anterior mucha palabrería para dar una idea aproximada, “que es redonda”, y corregir el error muy extendido de representar órbitas de la Tierra que los dibujantes alargan demasiado. Pero en ciencia, aunque sea divulgación, hay que ser mínimamente rigurosos y que si buscamos la exactitud, la órbita de la Tierra es una elipse, y otra vez puedes citar a Kepler.
¡Pues va ser que no!

La Tierra, en su movimiento en torno al Sol aproximadamente describe un círculo casi perfecto, tal como hemos visto. Si lo analizamos con rigor no lo es, pero tampoco es una elipse. Lo sería si solo existiesen el Sol y la Tierra, pero hay otros astros que la modifican, sobre todo la Luna.
Por la influencia gravitatoria de la Luna, en realidad la Tierra describe una trayectoria sinusoidal alabeada como la del siguiente gráfico. Puedes ver la explicación más detallada en el post EL TERCER PLANETA MÁS CERCA DEL SOL y al final la Tierra no se mueve en la órbita teórica calculada por Kepler, (en la imagen de color negro), sino en la de color azul, donde se ha exagerado enormemente la diferencia para poder apreciarlo.


- La diferencia entre el teórico radio de la circunferencia y el semieje mayor de la elipse son unos 21000 kilómetros. Parece mucho, pero teniendo en cuenta el enorme valor de este semieje (casi 150 millones de km), no son prácticamente nada.
Las desviaciones por la influencia de la Luna respecto a la elipse teórica son de unos 5000 kilómetros (10000 la amplitud total de la sinusoide a ambos lados), que aunque menores que el otro número (21000), son del mismo orden.

Este gráfico es solo un esquema de la situación, con los detalles enormemente exagerados, para visualizar las diferencias entre la órbita teórica de la Tierra (una elipse) y las dos desviaciones respecto a ésta, de la órbita real. Los números están redondeados.
Si queremos ser rigurosos y decimos que la órbita de la Tierra no es un círculo, resulta que tampoco es una elipse.


 Lo que viene a continuación en realidad lo puede entender todo el mundo, pero no me gustaría que lo leyesen los más pequeños y perdieran pronto la inocencia. Yo soy de los que piensan que es un valor importante de la infancia y no hay que quitárselo. Tiempo tendrán.

Mi mensaje “para mayores con reparos” es que no siempre hay que creer lo que nos dicen. No solo cuando de pequeños, antes de perder la inocencia nos leían el cuento donde siempre un lobo era mucho más peligroso que una chiquilla vestida de rojo, sino aunque la fuente sea un informativo de una televisión pública, un prestigioso centro de divulgación astronómica, un artículo editado en Internet por una fuente normalmente “fiable”, o incluso un libro de texto o aunque te lo dijera tu profesor. Un niño jamás deberá leer esto último. Por eso los rombos.
Difícil lo pongo. Mi consejo suele ser, “antes de creértelo mira en otros sitios a ver qué dicen” pero en este caso ni siquiera eso vale, porque en este tema en casi todos los lugares dicen la misma mentira.
Dirás que parece que me considero un iluminado. En absoluto. Solo alguien “algo rarillo” que hizo un par de operaciones matemáticas para comprobar algo que no le acababa de convencer, y luego cogió un calibre y se puso a medir monedas. Lo siento pero soy matemático y solo he contado lo que dicen los números.


TRES DENUNCIAS

De entre las muchas inexactitudes y representaciones desafortunadas, todas ellas por mostrar la órbita terrestre exageradamente alargada,  voy a citar tres de ellas que me parecen significativas y especialmente graves desde el punto de vista didáctico, sobre todo por la procedencia de las mismas.
En estos casos puede surgir la duda de si esa elipse que aparece en el gráfico corresponde en realidad a un círculo dibujado en perspectiva, que representaría de forma fiel la realidad. Pero como luego explico, esa opción debería descartarse porque sería absurda teniendo en cuenta el objetivo didáctico del gráfico.
- El primer rapapolvos (a) es para la mayoría de los libros de texto.
- El segundo (b) para un informativo de televisión, porque después de convencerlos en dos ocasiones de que lo hicieran bien, y lo hicieron, luego lo vuelven a poner mal.
- Y el tercero (c) porque creo que un centro de divulgación astronómica no debería cometer un error técnico tan evidente , y/o utilizar un gráfico tan antidáctico. En vez de mostrar lo que dicen, muestra lo contrario.

a) En los libros de texto prácticamente siempre aparece mal el gráfico. Si alguien 
sigue insistiendo en lo de “será que ponen el gráfico en perspectiva”, en esta imagen queda claro que no. Es en planta, porque lo dice expresamente. El libro de texto de la editorial Zubia-Santillana, de la asignatura de “Ciencias Naturales" que utilizaron mis hijos en 1º de ESO  indica en el pie del gráfico (en euskera): "goitik ikusita" , literalmente, "visto desde arriba".




b) Este apartado lo he cambiado respecto al contenido inicial, un par de veces, según han ido cambiando las circunstancias. 
La EITB (Radio televisión vasca) en el informativo meteorológico suele dar datos astronómicos (perihelio, afelio, estaciones, duración del año …) lo cual evidentemente es del agrado quienes somos aficionados a la astronomía. En muchos casos lo ilustran con la órbita de la Tierra y siempre ponían la típica elipse alargada y varias veces les he indicado mi desacuerdo. No es la primera vez que cuando a este programa se les hace alguna indicación o sugerencia no les llegan los mensajes porque ni lo corrigen ni contestan. Hay ejemplos claros desde hace años, y siguen una larga tradición de encuentros y desencuentros con la ciencia y la verdad, dando pábulo a supersticiones y absurdos como cuando hablaban de "las témporas" o  " cuando el agua del mar se equivocaba "

En una ocasión en que el director del programa me pidió colaborar en otros temas, le comenté personalmente el error, lo siguió poniendo mal, se lo volví a decir …, …, …, y a partir de un determinado día ¡la Tierra tuvo su órbita redonda!. Luego hubo cambio en la dirección del programa y volvió a adelgazar. Después de indicárselo volvieron a ponerla redonda, pero no se sabe si ha sido un despiste o una decisión del grafista contrariado que le gustaba más como antes y la ha vuelto a colar pero ...a la vista está.
Diversas imágenes de la órbita en EITB a lo largo del tiempo. Quizás sea el peor ejemplo porque en dos ocasiones la han vuelto a poner mal después de haberla corregido.
Imagen que aparece en el vídeo cuando se habla del perihelio
c) El diario EL Mundo en su edición digital ofrece mensualmente magníficas informaciones de efemérides astronómicas elaboradas desde el Planetario de Madrid en un atractivo vídeo. http://videos.elmundo.es/v/0_fwok4zfv-cinco-planetas-visibles-y-la-aproximacion-del-cometa-catalina?uetv_pl=ciencia&count=0
Pongo el enlace, además de la imagen de la discordia porque aparte de esta y otra órbita, cuenta otras cosas muy interesantes de manera correcta.

El punto rojo que he dibujado en la imagen está claramente más cerca del Sol que el señalado en el vídeo como perihelio. Me parece uno de los "despistes" más penosos, por la procedencia.

Pero… teniento en cuenta la fuente … me está haciendo dudar otra vez. ¿Será verdad que está en perspectiva? ¿Si?
No. En mi opinión rotundamente NO. La perspectiva es una representación siempre más difícil de realizar, que se usa cuando es necesaria para ilustrar algo que de otra manera quedaría más confuso. ¿Por qué hacerlo si con ello además se consigue el peor resultado? No tiene sentido.
Sigo pensando que el problema está en que todos tenemos en la cabeza la idea “equivocada” de que la órbita de la Tierra no es redonda.
Porque si fuese en perspectiva, el haber elegido ese gráfico sería mucho más grave que el no darse cuenta de que el punto rojo está más cerca.
Si yo hablo de que el perihelio es el punto más cercano al Sol y lo ilustro con un gráfico, ese gráfico me debe mostrar esa circunstancia, y no contradecirla. Si no, es mejor no poner ningún gráfico.
Poner la órbita en perspectiva en este caso, sería como si para mostrar el Sky-line de Nueva York y comparar la diferente altura de los rascacielos utilizo una foto aérea o de satélite desde la vertical de la ciudad, o si para averiguar si un balón traspasó la línea de portería en uno de esos “goles fantasma”, elijo una foto tomada desde la grada detrás de la otra portería, o si para alabar el magnífico colorido de una mariposa pongo una imagen en blanco y negro, cuando es fácil conseguir otra en color. Rotundamente NO.
Se puede ilustrar perfectamente la situación del perihelio, dibujando la órbita real (o muy próxima a ella) como señalé en el anterior post, sin caer en contradicciones. Y ¡Es mucho más fácil!

En mi opinión el uso de estos desafortunados gráficos a todos los niveles, ha hecho que casi todo el mundo tenga una idea errónea adquirida y que ésta se siga difundiendo.

Por supuesto en ocasiones hay divulgadores que intentan explicar la realidad, en el mismo sentido que se hace aquí, que la órbita realmente no es alargada sino casi circular.
Como ejemplo reciente, dentro de un artículo dedicado al perihelio, lo que Phil Plait escribe en http://www.slate.com/blogs/bad_astronomy/2016/01/02/perihelion_2016.html . Está en inglés, pero ha sido reproducido por  Microsiervos en castellano aquí: http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/la-tierra-en-el-perihelio-de-2016.html  copio a continuación el asunto concreto:
Volcado de pantalla de lo editado por Microsiervos reproduciendo el original de Phil Plait.
. Interesante, y es de agradecer la buena intención, pero se ha equivocado: La que corresponde más exactamente con la órbita real de la Tierra no es la de la derecha, sino la de la izquierda.
Para mí, es un alivio encontrar alguien que con propósito didáctico vaya en mi misma línea, pero Phil no ha sabido, o quizás no se haya atrevido a dar el último paso, el definitivo para zanjar el tema ¿Quizás porque hubiera sido llegar demasiado lejos y hubiera perdido credibilidad?. La imagen correcta, la más parecida a la realidad es la de la izquierda. Un solo píxel que alarguemos al círculo perfecto lo alejará de la órbita real mucho más que el propio círculo. 
El cociente entre el eje mayor y el eje menor el eje menor es 1.00014. En porcentaje, la diferencia entre el círculo perfecto y la órbita de la Tierra es menor del  0.02%, como se explica en la primera parte de este tema

De todas formas, yo no debería ser tan duro. Tengo que confesar que también he caído muchas veces en el pecado de dibujar la órbita un poco mal (o muy mal) cuando todavía no me había dado por medir monedas, e incluso después en alguna ocasión se me ha escapado (y la he tenido que borrar a toda prisa de la pizarra)., porque yo también tenía muy grabada esa idea equivocada en el cerebro.
Esto de hacerlo mal una vez que conoces la verdad, sí que es grave. Lo siento.

Para acabar, pido disculpas si alguien se hubiera sentido molesto al leer algo de este post, porque en muchos casos la persona que recibe las críticas no es quien las debiera recibir.

4 comentarios:

  1. Se mea echo largisimo pero merecio la pena

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    1. Totalmente de acuerdo, Ibai.
      Por un lado el texto era muy largo y me han dicho más de una vez, incluso en casa, que escribo demasiado. Ya estoy intentando reducir el tamaño de los post (sin conseguirlo siempre).
      Además el dividirlo en dos partes puede hacer parecerlo aún más, aunque lo hice precisamente para no cansar demasiado al lector.
      En el caso concreto de “la órbita de la Tierra” se podía haber resumido todo con dos frases. Pero estarás de acuerdo conmigo en que no se las habría creído nadie.
      Había que poner todos los argumentos y ejemplos sobre la mesa, incluido un toque de ironía, porque había mucha gente (y algunos de prestigio) que convencer.

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  2. Pues no era tan difícil hacer las cosas bien ...
    Gracias.

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    1. ¿Verdad que no, Miguel? Gracias a tí.
      Yo creo que en este caso el error se ha extendido tanto porque es un tema cuya comprobación no está al alcance del ciudadano normal. Y si no somos conscientes de que hay un error, no lo podemos intentar solucionar.
      De todas formas, teniendo en cuenta que hay otros "bulos" que aunque son observables y fáciles de comprobar, no se hace y el error se difunde tanto, tampoco es demasiado extraño lo que ocurre con la órbita de la Tierra.

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